今天在搜索一个群论定理时，遇到了一个中文网页，写作风格亲切而且感到熟悉。打开主页翻到“大学代数”的页面时，果然这位老师的Galois理论曾经在几年前打印出来阅读过。

这次再来看这位老师的笔记，其中很多讲义并不是类似于常见教科书的写法，而是一种循循善诱地教导。一些基础课完全可以按照讲义来自学。

教学主页分成以下几个板块

• 数学导论（基础集合论）
• 基础数论
• 线性代数（线性代数初步与线性代数再探）
• 大学代数（大学基础代数与简介Galois理论）
• 研究所讲义（有限群的线性表示，局部类域论等）

PS:这位老师的主页在这里

Hello Remark

使用 Remark 做演示文稿

作者:Mosbic

Created with Remark.js using Markdown + MathJax

What is it and why should I be using it?

这是第一页

测试！

–

测试！

hello

今天突然想换个桌面背景图，于是就百度一下搜搜看有什么好看的高清壁纸。搜索一会没有找到特别好的，突然想到在知乎看有没有人分享了桌面壁纸。

果不其然，知乎还是很有质量的，虽然看到的一个帖子问题已关闭，但是里面的资源还是很丰富的，于是乎就有了下面这个小爬虫

# 下载知乎某帖子里的图片。 
import urllib.request
import re,os

def open_url(url):
    req = urllib.request.Request(url)
    # req.add_header('User-Agent','*') # *需要自己填
    page = urllib.request.urlopen(req)
    html = page.read().decode('utf-8')
    page.close()
    return html

def get_img(html):
    p = r'data-original="([^"]+)"'
    imglist = re.findall(p,html)
    imglist = list(set(imglist)) #把重复的链接去除
    num = len(imglist)
    print('共有'+str(num)+'幅图')
    
    for each in imglist:
        filename = each.split('/')[-1]
        if os.path.exists(filename):
            continue
        else:
            urllib.request.urlretrieve(each,filename,None)
            print(filename,'保存好了')

if __name__ == '__main__':
    url = 'https://www.zhihu.com/question/21180335' #'http://www.zhihu.com/question/38824940'
    get_img(open_url(url))

于是得到了一堆图可供挑选作背景。

什么是Pandoc

假如我现在有一个markdown文件，我想把它转化成tex文档，或者html文档，甚至word文档。最容易想到的方法是打开编辑器，将文本复制粘贴过去后开始进行设置。而事实上这对于很多情况无异于重新进行排版，于是我们希望有一个工具可以快速从某些文档转换成另一种文档。

对于我本人来说，现在的需求比较简单，把tex文档转换成.markdown，.pdf，beamer，或者markdown转换成.pdf，那Pandoc这个工具呼之欲出。至于历史和关于软件本身的简介参考官方主页.

安装

详情点我，请参考官方说明文档。

使用

在此，我只列举一些我常用的命令（流程）

安装完毕后在命令行下输入

pandoc --version可以查看是否安装成功，版本是哪一个。

pandoc --help或者pandoc -h显示帮助

实际上上面的帮助对于轻度使用者并不是很大，不如直接来学具体的命令。OK，现在我们直接从需求上来进行说明

目的：将 C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.txt (假设没有中文)转换成 C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.markdown，可以在命令行中输入

pandoc --ascii -f txt C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.txt -t markdown -o C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.markdown

上面的新建文本文档.txt和新建文本文档.markdown可以换成.md .tex .html等，接着我们解释几个命令

--ascii 避免转换成UTF-8编码

-f 后面设置输入格式，如tex beamer html markdown等（可根据后缀名判断，此时可忽略）

-t 后面设置输出格式，如tex beamer html markdown等

-o 设置输出文件路径，若没有的话大多情况自动在命令行下输出。因此这一个选项最好要写上

目的：将 C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.txt (假设没有中文)转换成 C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.pdf，同样输入

pandoc --latex-engine=xelatex -f txt C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.txt -t pdf -o C:\Users\yourname\Desktop\新建文本文档.pdf

稍等一会就会出现pdf文档(假设已经安装LaTeX)。

大致明白以上的内容后就可以进行最基础的文档格式转化了。另外想看看效果的话，可以看看这里

简写及cheatsheet

1. txt转换html格式

   pandoc yourfile.txt -o yourfile.html

2. 独立html文档要加-s

   pandoc -s yourfile.txt -o yourfile.html

3. txt转换为pdf格式

   pandoc --latex-engine=xelatex yourfile.txt -o newfile.pdf

4. 上面的txt格式和pdf格式可以替换，如若不成，就用全命令

   pandoc -f [输入格式] [输入文档路径] -t [输出格式] -o [输出文档路径]
   

5. 实际上还可以简写为

   pandoc -f [输入格式]  -t [输出格式] [输入文档路径] 
   

   或者

   pandoc -o [输出文档路径] [输入文档路径]
   

6. 转换tex时

   pandoc -s [input] -o [output].tex
   

7. 将网页转换成markdown

   pandoc -s -r html http://www.gnu.org/software/make/ -o output.html
   

8. PDF with numbered sections and a custom LaTeX header

   pandoc -N --template=mytemplate.tex --variable mainfont="Palatino" --variable sansfont="Century Gothic" --variable monofont="Consolas" --variable fontsize=12pt --variable version=1.15.2 README --latex-engine=xelatex --toc -o example14.pdf
   

9. EPUB ebook

   pandoc -S README -o README.epub
   

10. Word docx:

    pandoc -s -S README -o example.docx
    

11. LaTeX math to docx:

    pandoc -s math.tex -o example.docx
    

12. Docx with a reference docx:

    pandoc -S --reference-docx twocolumns.docx -o UsersGuide.docx README
    

13. Docx to markdown, including math:

    pandoc -s example.docx -t markdown -o example.md
    

14. EPUB to plain text:

    pandoc README.epub -t plain -o example.text
    

关于如何协作进行$LaTeX$的编写，请参考这里

2016年3月24日 22:49初稿

这篇博文主要记录一下现在经常使用的软件（windows）：

• 首先是MarkdownPad用于写作，实际上，写作完全可以用Submlime Text代替，然而现在还在使用MarkdownPad的原因有两个，其一是可以实时看到结果，其二是ST的设置。当然还有一个原因是在windows上把.md文件的默认程序设置成用MP打开了。现在使用Typora来编辑md文档，而进行每天任务管理的是使用markeditor付费了普通版。
• 第二个是Sublime Text3，之前用的是ST2，在设置LaTeX的一些东西时，发现有不兼容的地方，于是重新设置了ST3。自从有了ST3，写tex笔记就不用加载WinEdt了。当然编写Python文件也可以直接运行，再也不用装多余的IDE了，同理做前端时用ST非常有效率。ST3中使用project来进行LaTeX的编辑很方便，再利用Github同步。
• 第三个是WIZ，为知笔记。这个也用了好多年，一直收藏一些网页和内容。缺点是条目多了以后加载较慢。比如前段时间用它来保存某个网页上的全部链接，用了一个半小时，最后生成的文件合并后打开太慢了，于是导出为.pdf,一共生成了500+页。
• 接着是一些有关编程或者相关的软件：Python 2.7，Ruby 2.2.2，Github，Pandoc（进行格式转换）
• 和阅读有关的：福昕阅读器，SumatraPDF（配合ST3共同用来写笔记和论文），DjVuLibre，Calibre（本来是准备kindle传书用，结果设置不好于是很少用，后卸载）
• 学术相关：TeX Live 2015，Jabref（参考文献）很好用现在打笔记时会用到，Zotero（同样参考文献，实际上查找文献更多的在用TC+everthing），TeXstudio（已经卸载），知网的软件（看知网文献用），Xmind（很少用了，卸载），notepad++（偶尔用），matlab（没用过，因为不会+不需要）。windows下整理论文主要使用的工具是Total Commander，SumatraPDF，everything和Jabref，另外在写作时再配合sublime text与google学术，arXiv等完全足够。TC扮演了分类文件夹的角色，而找文献主要是通过everything搜索来完成，sumatra不必多说用来看文档，jabred是用来进行bib的管理。
• 文件相关：最常用的两个是Total Commander和everthing，利用前者建立了文件夹（树）用于传输、比较、同步文件等，后者用于搜索、定位。两者结合查东西非常迅速。 Listary开始使用，和TC相结合可以在保存文件时快速定位，（Clover用的较少，因为经常崩溃（已经卸载））。 另外一个从05年就用的软件是TurboLaunch，一直没使用快捷打开相关的软件，一直用它习惯了。wox也是一大神器，号称是pc端的Alfred，使用一段时间后还是很不错的，可以像alfred一样设置搜索引擎，遗憾的是插件还较少。Ditto（剪贴管理器） autohotkey旧电脑用过一段时间，换新电脑后一直没有设置，可以重新配置一些。
• 其它：WPS，Office+Aurora（能用WPS尽量用WPS），Prezi（用过几次，学术型slide还是用beamer吧），360极速浏览器（chrome不支持的网站用它），Chrome和午安（学术）浏览器，有道，微云，uTorrent，PotPlayer（看视频非常给力），IrfanView（看图利器），QQ，迅雷，百度云同步，现在在试用坚果云同步。photoshop，学习了简单的抠图已经觉得功能强大。

以上差不多是现在pc里装的。

接下来记录一些mac上经常使用的软件

• Alfred 2 这个当然放在第一位，可以替代spotlight，另外添加workflow之后，可以大大提升效率。比如快速打开网址，百度搜索，google搜索，还可以自己添加搜索，比如我自己添加了mathoverflow的搜索，springer link，libgen等学术搜索网站的快捷搜索。另外还有一些天气查看，douban插件和种子搜索等等。另外还限免购入一款MarkdownD
• Mou 写作文字类的文章时使用，比如现在这一篇，通过配置字体和输出css可以方便快捷的即时浏览，比如我使用了github2的css，显示效果还是很棒的。
• Onenote 这是做笔记的软件，另外还常用的事wiz，但是evernote已经放弃使用。
• Ulysses III，刚刚开始使用这款写作软件。之前使用过scrivener,觉得不是很轻巧，平时我也不会写剧本，写小说的计划暂时还没有，写论文或者其他学术型相关的用LaTeX就好，后来看到了这款比较小巧的软件，可以考虑要写的一些非专业的东西，比如整理wiz里的内容等可以用它来管理和写作，期待它。
• Sublime text3 不多说了，和windows上一样。其中添加了一些插件package control，LaTeXTools, plaintask等，其中plaintask在mac上显示效果更好一点
• Github 同步文档，用jekyll来发布githubpage，也就是这个个人主页。
• Skim 看pdf文档。同类型软件有限免购入的PDF Reader。另外有看djvu的djvu reader
• Papers，轻量使用，因为主要的论文都在windows下放着。
• Ominifocus 还未开始使用。
• bearychat 暂时没有团队来做这个，网页端的协作app还用tower
• 其他一些 utorrent 上六维用，keka 打开rar等压缩文件用, zotero和windows同步参考文献，网易云音乐听歌，tex的mac版，qq wechat，keynote做幻灯片（看了许岑的视频后开始使用），cheatsheet看快捷键

将上面的软件列表如下

下次再把常用的手机端软件和常用的网站整理一下。

• 2015.12.18 12:00更新
• 2016.01.07 21:07更新 表格
• 2016.03.24 14:55 更新 一些软件

##序

最近找到一本本科阶段的代数几何书，就是下面这本，Klaus Hulek所写的 Elementare Algebraische Geometrie ,当然我看的是这本书的中译本。译者是胥鸣伟，质量是有保证的。

想来国内在本科阶段能够开设代数几何课的高校并不是很多，一来师资匮乏，二来没有合适的本科生教材，更不必说稀缺的中文版教材。这套教材很适合于代数几何入门的，我们从它的目录开始看

1. 仿射簇 Affine Variet"aten
2. 射影簇 Projektive Variet"aten
3. 光滑点和维数 Glatte Punkte und Dimension
4. 平面三次曲线 Ebene kubische Kurven
5. 三次曲面 Kubische Fl"achen
6. 曲线论简介 Theorie der Kurven

从目录来看并没有引入概形和上同调工具，细致一点观察目录还是能发现还是讲述了一些很重要的概念，如范畴与函子，除子与Riemann-Roch定理等等。本文的目的是力求梳理各章节的脉络，对于一些内容进行简短的注记和说明。鉴于此，很多定理的叙述和复杂的证明就省略掉了，要认真学习这门科目的话还是要去读书。另外该书作者也同样推荐了很好的参考书，比如M. Reid所著 Undergraduate Algebraic Geometry 。在这里我同样推荐Reid所写的 Undergraduate Commutative Algebra 一书。

##第0章 引言

我们从引言开始：

对于“代数”这门分支，我们最初接触到的是“线性代数”（linearen Algebra）。线性代数研究的是一个域上的线性方程组的解。对于线性方程组人们已经发展了完整的理论：对于解的存在性和解集的结构都可以做精确的描述。同样在线性代数中还借用对称矩阵对二次超曲面进行了分类。这两者重要的差别在于二次曲面分类依赖于数域的选择。

而代数研究的是任意次多项式方程的解。这个问题的解答依赖于基域的选择。要想使一般的多项式方程有解需要假定基域是代数闭域。

代数几何处理的是多变量的任意多项式方程组的解。

接下来便开始了一些简单概念的介绍：代数集（algebraischen Menge），仿射空间（affine Raum），零点（Nullstelle），零点集（Nullstellengebilde），代数闭集（abgeschlossene）等等。

这里需要说明的是$n$维仿射空间作为点集和$k^n$是一样的，但是仿射空间没有线性空间结构，即没有加法，没有特殊的点，特别是没有指定原点。实际上可以给$\mathbb{A}_k^n$一个Zariski拓扑使之称为一个拓扑空间。这个拓扑是和欧式拓扑相差很大的。

对于代数集有重要的例子是一般线性群$GL_n(k)$，它实际上是代数群（algebraischen Gruppe）。这样的例子还有$SL_n(k)$，$O_n(k)$，$Sp_{2n}(k)$等。

最后提到的费马大定理正是激励了一代代数学家来发展这一学科的动力之一。

##第1章 仿射簇

这一章主要是将“代数”和“几何”联系起来。其中自然涉及到一些代数学的定理，特别是交换代数的定理，其中最重要的就是Hilbert零点定理(Hilbertsche Nullstellensatz)，注意讲英文时千万不要叫这一定理为“theorem of zeros”，一看就不专业 = =。当然建立这个联系少不了范畴论的内容，其中最关键的是“函子”（Funktor）这一概念。这一章假定基域是代数闭域。

###简单事实

令$A=k[x_1,\cdots,x_n]$，我们考虑的代数对象是$A$的所有理想组成的集合，相对应的几何对象是$\mathbb{A}_k^n$中的代数集。

首先我们有两个方向的映射

$V$是满射，不一定单。$I$既不一定单也不一定满。若局限于适当的理想类和代数集，则它俩是互逆的双射。

一些显而易见的结论有: $V(J)$满足闭集公理，$V,I$是反序对应的。每个子集均有$X\subset VI(X)$，等式成立当且仅当$X$是代数集。对于理想$J$,$J\subset IV(J)$。如$J=(x^2),IV(J)=(x)$

定义根式理想后可以得到形如$I(X)$的理想是根式理想，素理想是根式理想。

一些命题如下： 非空代数集$X$不可约当且仅当$I(X)$是素理想。 命题左边是几何，右边是代数。

每个代数集$X\subset \mathbb{A}_k^n$具有一个不计次序的唯一的表达式$X=X_1\cup \cdots \cup_r$，其中每个$X_i$不可约，并且$i\neq j, X_i \nsubseteq X_j$.这样每个$X_i$称为$X$的不可约分支。 注：这个命题对于所有的诺特拓扑空间都成立。

不可约代数集一个重要的等价条件

1. $V$不可约
2. 任意非空开集$U_1,U_2 \subset V$,有$U_1\cap U_2 \neq \emptyset$
3. 每个非空开集$U\subset V$稠于$V$。

零点定理

假定$k$是代数闭域,$A=k[x_1,\cdots,x_n]$。

Hilbert NULLSTELLENSATZ有好几个等价的命题，我们首先来看最像“零点”定理的: 若$J\subset A$为真理想，则$V(J)\neq \emptyset$.，再来看与之等价的比较容易得到的命题：

• 每个极大理想$m\subset A$具有形式$m=(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)=I(P)$,其中$P$是仿射空间中的一个点.
• 每个理想$J \subset A$有$IV(J)=\sqrt{J}$.

其中第一个是说几何上的点对应与环的极大理想，第二个是说对应于代数簇的是根式理想。我们后面来给出对应关系，在这里我们看一个稍微不一样的代数版本的零点定理：

设$A$是有限生成$k$-代数，若$A$是域，则$A$是$k$上的代数扩域。

这个定理可以由诺特正规化定理得到。我们从这个命题立即可以得到极大理想的样子，有理极大理想对应于点立即可以得到最像“零点”定理的命题；接着证明上面两个单独列出来的命题是等价时需要用到”Rabinowitsch’s Trick”（引入新变量），详情看书。

映射$\{A \mbox{的理想}\}\overset{V,I}\longleftrightarrow \{\mathbb{A}_k^n \mbox{的子集}\}$定义了如下双射：

并且有极大理想$\Rightarrow$素理想$\Rightarrow$根式理想。

代数结果

这里主要引入的是整扩张，中山引理（NAK）和诺特正规化定理。其中NAK主要使用了叫作”determinant trick”的技巧。

诺特正规化展示了维数的几何观念与簇的坐标环的的联系。一边是几何意义上的仿射簇维数，一边是代数意义上的坐标环的函数域的超越次数。

接下来引入可分元，可分扩域，本原元定理。这里有扩域$k\subset K$可以分解成一部分纯超越扩张，一部分是单扩张，$k\subset K_0=k(y_1,\cdots,y_m)\subset K=K_0(y_{m+1})$,这些$y_i$间只有一个代数关系，每个不可约簇“几乎”同构于一个超曲面。

函数与映射

主要有 多项式函数与多项式映射，有理函数与有理映射。并且在这一部分引入了范畴论里的简单概念：对象，态射，函子，共变反变，自然变换，范畴等价，积等概念

这节$V$表示$\mathbb{A}_k^n$中一个仿射簇

多项式函数与多项式映射

首先多项式函数是一个映射$f:V\longrightarrow k$，使得存在多项式$F\in A$，对所有的$P \in V$有$f(P)=F(P)$.

这样的多项式显然不是唯一的，若$G$满足$F|_V=G|_V$,即$F-G|_V=0$也就是$F-G\in I(V)$,从而有了坐标环$k[V]=A/I(V)$,实际上$k[V]=\{f: f\mbox{是一个多项式函数}\}$。

于是我们有前面部分的一些重述

$V$不可约当且仅当$I(V)$是素理想当且仅当$k[V]$是整环。

限制在簇$V$上来看

从而$V$的代数闭子集定义了其上的一个拓扑，它也是从仿射空间诱导来的拓扑

既约代数就是不包含任何幂零元，$A/I$既约当且仅当$I$是根式理想。由于簇$V$的理想总是根式理想，从而坐标环是既约的。

一个仿射簇的坐标环$k[V]$是有限生成的既约$k$-代数。反过来，任何一个有限生成的既约$k$-代数$A$，可以构造一个代数簇$V$，使得它的坐标环$k[V]$就是$A$：下面是详细说明

选定生成元$a_1,\cdots,a_n$,于是$A=k[a_1,\cdots,a_n]$.从而考虑满同态

$\pi:k[x_1,\cdots,x_n]\longrightarrow A=k[a_1,\cdots,a_n]$,$x_i\mapsto a_i$

的核$I=ker(\pi)$,令$V=V(I)$是簇。$V$不可约当且仅当$A$整环，由于$A$既约故$I$是根式理想，从而$I(V)=IV(I)=I$,于是$k[V]=k[x_1,\cdots,x_n]/I(V)=A$.

多项式映射是两个簇之间的映射，也就是说$f$的分量是由多项式定义的。多项式映射在Zariski拓扑下连续。

设$f:V\longrightarrow W$为多项式映射，则$f^*:k[W]\longrightarrow k[V]$是$k$-代数同态，反过来也有

若$\phi:k[W]\longrightarrow k[V]$是$k$-代数同态，则恰好存在一个多项式映射$f$使得$\phi=f^*$.(选取$f=(\phi(\bar{y}_1),\cdots,\phi(\bar{y}_m))$)从而有双射

$\{f:V\rightarrow W \mbox{为多项式映射}\}\overset{1:1}\longleftrightarrow \{\phi:k[W]\rightarrow k[V]\mbox{为$k$-代数同态}\}$，$f\mapsto f^*$

于是几何的簇的同构问题转化为代数的同构问题

$f$是簇间同构当且仅当$f^*$是$k$-代数间同构。

反变函子$V\mapsto k[V],f\mapsto f^*$定义了下述范畴等价

有理函数与有理映射

缘起

在读一些文章和书时，参考文献中出现了Berrick的这本书An approach to algebraic K-theory。Google和Baidu之后都没能找到这本书，继而发邮件询问了Feng Ji师兄，后来从Shengkui Ye师兄那里得到了一份扫描版的.djvu文件。简单浏览之后发现这本书是不可多得的简介，在短短百余页介绍了很多东西，放在现在也是值得参考的文献，之后便想把扫描版的书籍转化成电子版，于是便有了现在这个项目。

回忆

拿到这本书的电子版也是很幸运的。时光追溯到刚念研究生时：第一天报道当晚接到了ZQ师兄的电话，通知第二天去首都机场接机。第二天上午接到的第一位便是上面所说的Feng Ji师兄。记得Ji师兄说等Ye师兄来了介绍给我们，说他社交很广，认识的人很多。后来有幸见到叶师兄作报告，却没有机会聊聊。

世间有很多的奇迹，也有很多的巧合。在一次上完课后，和Yang Su老师聊天，聊起来想学的一个东西，就提起了Ye师兄，说他对这块比较熟悉，后来果然看到了Ye师兄写的一篇相关的文章，也看到了和Su老师合作过的一篇论文。更巧合的是在今年暑假和王向军老师闲聊时，才知道王老师和新加坡国立的几个老师都非常熟悉。王老师还讲了一件有趣的事，本来他已经买了去新加坡的机票，后来一想在新加坡抽烟是要施以鞭刑的，王老师说自己怕烟瘾犯了到时候万一被抽两鞭子划不来，于是又把机票退了。和王老师还聊了很多有趣的故事，真是时间过得飞快，不知何时还能陪王老师把酒畅谈？

进度

回到这个文档，在拿到扫描文档后我便开始了行动。最开始一个字一个字打完了前言，发现效率实在太低，险些有些产生放弃的念头。接下来完成了第九章，因为正好在看相关的内容。突然有一天想到是否可以用OCR识别软件来识别英文呢？由于扫描版印刷并不是很清晰，使用软件后很多字符还是有错误，但好在省去了很多打“字”的工作，于是这个tex版本的文档也相当于“校对”版本，主要是把一些公式和图表打出来。尽管如此，还是花了一些功夫，快半年了也快到了收尾的时候。收尾并不轻松，参考文献和索引需要核对，交叉引用也需要设置，尽量把编号和原文一致。但也由于自己水平的限制，许多内容相信还是有些错误，如果发现这些错误那么都是因为我的不认真导致的。

2015年10月5日更新：完整版第一个版本现在已经上传到github，欢迎学习。

最后，摘部分原书的前言作为本文的结尾：

Two decades ago, the term “algebraic K-theory” had not even been born — the subject was still in embryo. A decade later, there was no doubt of existence; it was uniqueness which seemed at risk as seemingly distinct competing definitions tumbled forth. Since then there has been much reconciliation and development. It is now unquestionably a subject in its own right, clearly flourishing.

Yet in certain respects it has grown too fast. The wider mathematical community had found it hard to keep up with the pace, as anyone trying to find the AMS (1980) classification for the subject will appreciate. (There has, however, been significant acknowledgement of its achievements, most notably in the award of a 1978 Fields Medal to one of its exponents, D. Quillen.) In particular, it has become very difficult for “outsider” (whether established Mathematicians in other areas, or graduate students wishing to enter the fray) to gain access to the material which must be mastered before current research can be studied. Nobody has written an introduction to the subject since its quite early days. A new one is sorely needed. In addition, Quillen’s fundamental tool for the most-travelled path to higher algebraic K-theory, the plus-construction, now receives attention from geometric topologists and homotopy theorists. Again, there is a place for a thorough, up-to-date treatment of the basics.

This book is a modest attempt to meet those needs. In 1976 I gave an eight-lecture graduate course at Oxford, much of its content deriving from (a small portion of) a course Quillen delivered at M.I.T. while I was visiting there in 1974–1975. The next few years saw a number of developments, so that by 1981 a repeat course at Oxford comprised sixteen lectures. These now constitute the core of the book, although the inevitable inflation has resulted in only one chapter(the eighth) resembling lecture-sized length.

I have in mind as likely reader an algebraist, topologist or algebraic number-theorist requiring first of all a little motivation before confronting the technicalities. The first three chapters therefore emphasize the history of the topic and its relationship to its “older sibling”, topological K-theory. In chapter 4 the real work begins, in the shape of an introduction to the plus-construction. There is, alas, no escaping the reader’s need for a little topological familarity here, but I have tried to minimize this. The pleasent surprise is how much algebra, in the form of fundamental group-actions on homotopy and homology groups, lies at the heart of this approach. As a result, the discussion (in Chapter 9 and 11) of seemingly topological properties of the topological space $BGL(A)^+$ is in large part algebraic. For me, an especially satisfying aspect of the treatment is the way in which the same lemma(3.11) in homology of groups is revealed as lying behind both the de-looping of $BGL(A)^+$ in chapter 11 and the passage from equivariant $A$-representations to $KA$-theory exploited in Chapter 12 and 13.

Throughout I have tried to complement, rather than reproduce, established references. K-theory veterans, as well as novices, should therefore find something here to interest them. By making the plus-construction the central theme of the work, I have automatically ruled out chances of definitiveness: some results which I state for completeness’ sake have been established by quite different methods. The reader should be aware that this is only an approach to the subject. I hope it encourages him/her also to contemplate others.